![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Розділ №1 Комплексна змінна і функція комплексної змінної
- •§ 1 Комплексні числа і дії над ними
- •§ 2 Границя послідовності комплексних чисел
- •§ 3 Поняття функції комплексної змінної. Неперервність
- •§ 4 Диференціювання функції комплексної змінної
- •§ 5 Інтеграли по комплексній змінній
- •§ 6 Інтеграл Коші
- •§ 7 Існування похідних всіх порядків аналітичної функції
- •Розділ №2. Ряди аналітичних функцій
- •§1 Рівномірно збіжні функціональні ряди
- •§2 Степеневі ряди. Ряд Тейлора
- •§ 3 Єдність визначення аналітичної функції
- •§ 4 Аналітичне продовження
- •§ 5 Ряд Лорана
- •§ 6 Класифікація ізольованих особливих точок аналітичної функції.
- •Розділ №3. Теорія лишків
- •§1 Лишок аналітичної функції в ізольованій точці
- •§ 2 Застосування теорії лишків до обчислення означених інтегралів функції дійсної змінної
- •Розділ № 4 Перетворення Лапласа
- •§ 1 Означення перетворення Лапласа та його властивості.
- •§ 2 Знаходження оригіналу за відомим образом Лапласа
Розділ №1 Комплексна змінна і функція комплексної змінної
§ 1 Комплексні числа і дії над ними
1.
Поняття комплексного числа. Дії над
комплексними числами. Комплексним
числом z
називається впорядкованих пара дійсних
чисел
,
над якими задані такі дії:
а)
додавання: сумою двох комплексних чисел
та
називається таке число
,
для якого
,
.
Справедливими є наступні закони:
(комутативний),
(асоціативний).
б)
множення: добутком двох комплексних
чисел
та
називається таке число
,
для якого
,
.
Справедливими є наступні закони:
(комутативний),
(асоціативний).
в)
порівняння: два комплексні числа
та
рівні тоді і тільки тоді, коли рівні
відповідно їх дійсні та уявні частини,
тобто коли
і
.
Перше
число a
пари
називається дійсною частиною комплексного
числа z
і позначається через a
= Re
z,
число b
називається уявною частиною комплексного
числа z,
і позначається через b
= Im
z.
– двовимірна
форма запису комплексного числа;
Зручною
є алгебраїчна форма комплексного числа:
,
де і
– уявна одиниця, тобто
.
,
,
,
… . Число
називають
комплексно спряженим числом до числа
.
Слід зауважити, що нерівностей комплексних чисел не існує.
Дії над комплексними числами, заданими в алгебраїчній формі:
;
;
.
2. Геометрична інтерпретація комплексного числа. Введемо перш за все поняття комплексної площини. Комплексна площина — це площина із осями декартової системи координат, де вздовж вісі абсцис відкладається дійсна частина комплексного числа і її відповідно називають дійсною віссю, а вздовж вісі ординат –уявна частина комплексного числа, її називають уявною віссю (див. рис.1).
Рис. 1 Комплексна площина.
Отже, на комплексній площині комплексні числа зображуються точками з координатами (дійсна частина, уявна частина).
– тригонометрична
форма запису комплексного числа;
– дійсна
частина комплексного числа;
– уявна
частина комплексного числа;
– модуль комплексного числа
,
– аргумент комплексного числа
,
при
і
,
при
.
Геометричний зміст модуля комплексного
числа – це відстань від початку координат
до точки на комплексній площині, що
зображує дане комплексне число.
Геометричний зміст аргументу комплексного
числа полягає в тому, що це кут між
додатною віссю ox
і вектором проведеним від початку
координат до точки z,
що зображує дане комплексне число.
.
Використовуючи
формулу Ейлера:
,
отримаємо показникову форму запису
комплексного числа:
.
При
додаванні (відніманні)
доцільно використовувати алгебраїчну
форму або двовимірну форму комплексного
числа, а при множенні
чи діленні чи
– показникову форму:
;
.
3. Добування кореня із комплексного числа. Тригонометрична і показникова форми запису комплексного числа є зручними при розгляді таких арифметичних операцій як піднесення комплексного числа до цілої додатної степені та добування кореня з комплексного числа.
Піднесення
до степеня комплексного числа, означає
наступне:
.
Комплексне число
називається коренем n-ї
степені із комплексного числа z,
якщо
.
Добування кореня із комплексного числа
здійснюється за допомогою формули
Муавра:
,
де к
= 0, 1, 2, … n-1.
При
,
,
…, повторюються значення, що відповідають
тому достатньо обмежитись найбільшим
значенням
.
Приклад:
добути корінь з комплексного числа
.
,
,
;
.
Рис. 2 Добування кореня з комплексного числа.
Обчислення аргументу комплексного числа:
1)
z
– число
дійсне і додатне, тобто
,
(
,
);
2) z
– число
уявне і додатне,
,
(
,
);
3) z
– число
дійсне і від’ємне,
,
(
,
);
4) z
– число
уявне і від’ємне,
,
(
,
);
5) аргумент числа z = 0 є невизначеним.
,
– права півплощина;
,
–
ліва півплощина.