![](/user_photo/1334_ivfwg.png)
Вопросы по курсу «Дискретная математика».
-
Множества. Отношения. Функции
-
Множества (конечные и бесконечные).
-
Понятие
множества нельзя определить через более
общие понятия, так как таких понятий в
математике нет. Понятие множества
является настолько общим, что для него
невозможно дать формальное определение.
Интуитивно, под множеством понимается
совокупность различных объектов,
объединенных по какому-то одному или
нескольким признаков. Объекты, составляющие
множество, называются элементами. Тот
факт, что объект x принадлежит множеству
A, передается записью xA
( читается - “элемент x принадлежит
множеству A”).. Если x не является
элементом A, то пишут x
A.
Элементы множеств обычно обозначаются
строчными латинскими буквами x, y, a, b, c
; множества часто обозначают прописными
латинскими буквами A, B, C, X, Y.
Если множество содержит конечное число элементов, то говорят, что оно конечно, в противном случае множество называется бесконечным. Число элементов конечного множества A называется мощностью множества A и обозначается |A|. В дальнейшем мы будем различать общий (текущий) элемент x множества A, т.е. произвольный элемент, характеризующийся единственным свойством “принадлежать множеству A”, и конкретные элементы a, b, c каждый из которых отличен от других. Множество A, состоящее из элементов a,b,c,... записывается A={a,b,c,...}.
Подмножества.
Понятие подмножества возникает тогда, когда необходимо рассматривать некоторое множество не самостоятельно, а как часть другого, более широкого множества.
Множество
B называется подмножеством
множества A, если всякий элемент множества
B является элементом множества A. Запись
BA
( не исключает, что B=A).
Определённое ранее пустое множество по определению является подмножеством любого множества.
По определению пустое множество является конечным.
По
определению множество является
подмножеством самого себя, AA.
Таким образом, у каждого множества (кроме пустого) есть по крайней мере два подмножества - само множество и пустое.
Важным понятием является понятие подмножества. Понятие подмножества всегда применяется к паре множеств.
Определение
Говорят,
что множество А является подмножеством
множества В (пишут А
В)
тогда и только тогда, когда каждый
элемент множества А является элементом
множества В.
Теорема
Для того, чтобы множество А являлось подмножеством множества В, необходимо и достаточно, чтобы A\B = Ø.
Множество
всех подмножеств множества А обозначают
2A.
Ясно, что Ø
2A
и А
2A.
Они называются несобственными
подмножествами множества А. Остальные
подмножества (если они есть) называются
собственными.
Пример
Пусть А = {1,2,3}. Ясно, что 2A = {Ø, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3}}.
Операции над множествами и их свойства.
Алгебраическими операциями называют такие, при выполнении которых результирующее множество либо пусто, либо состоит из элементов, из которых состоят и множества, подвергающиеся операциям.
Кардинальными операциями называют такие операции, при выполнении которых появляются новые элементы.
Основными алгебраическими операциями над множествами являются следующие:
- пересечение множеств,
- объединение множеств.
-разность множеств.
Пусть А и В - произвольные множества. Их пересечением называется множество
АВ={x|
x
A
и x
B}.
Объединением множеств А и В называется множество
АВ={x|x
A
или x
B}.
Разностью
множеств
А и В называется множество А\В={x|xA,
но x
B}.
Используя понятие универса, можно ввести еще две операции над множествами - дополнение и симметрическую разность множеств.
Дополнением
множества А (до универса J) называется
множество
=J\A,
т.е.
={x|
x
J,
но x
A}.
Симметрической разностью множеств А и В называется множество
АВ=(A\B)
(B\A).
Если
АВ=
,
то говорят, что множества А и В не
пересекаются.
Геометрическое изображение.
Определение
Дополнением
ко множеству А относительно универсального
множества I называется множество,
обозначаемое Ā,
определяемое