![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
Размещено на /
Городская конференция учащихся муниципальных образовательных учреждений, занимающихся учебно-воспитательной деятельностью
«Шаги в науку»
Научное общество учащихся «Поиск»
Муниципального образовательного учреждения
«Средняя общеобразовательная школа №86 г.Омска»
Научное направление: «Математика»
Уравнения, содержащие параметр
Соколова Александра Михайловна
ученица 10 класса МОУ
«СОШ №86 г.Омска»
Руководитель: Дощанова Тиштых Мухановна,
учитель математики
Омск 2011
Содержание
Введение
1. Знакомство с параметрами
1.1 Решение уравнений первой степени с одним неизвестным
1.2 Решение линейных уравнений с модулем
1.3 Решение квадратных уравнений
2. Примеры решений уравнений с параметром из ГИА и ЕГЭ части С
Заключение
Введение
В настоящее время различные задачи с параметрами – это одни из самых сложных заданий на экзаменах. А ведь в экзаменационных заданиях они есть как за 9 класс, так и за 11, но многие ученики даже не берутся решать эти задания, так как заведомо считают, что не смогут их решить, даже не попробовав. А на деле, чтобы справиться с ними, нужно всего лишь проявить логику, включить смекалку и ничего сложного не окажется.
Свою работу я захотела посвятить заданиям с параметрами, так как именно они вызывают у большинства учеников наибольшие затруднения. Мне самой нужно будет сдавать ЕГЭ, и поэтому, обращаясь к этой теме, я хотела бы облегчить и себе, и своим слушателям, тяжесть решения задач с параметрами.
Цель моей работы - научиться решать уравнения с параметрами и познакомить учеников с методами решения подобных заданий.
Я поставила перед собой следующие задачи:
1. Самой научиться решать уравнения с параметрами различных видов.
2. Познакомить учащихся с разными методами решения подобных уравнений.
3. Вызвать интерес учеников к дальнейшему изучению задач с параметрами.
В моей работе я рассмотрю следующие виды заданий с параметрами:
1) Решение уравнений первой степени с одним неизвестным;
2) решение линейных уравнений с модулем;
3) решение квадратных уравнений.
уравнение параметр неизвестное модуль
1. Знакомство с параметрами
Для начала, стоило бы пояснить, что собой представляют уравнения с параметрами, которым посвящена моя работа. Итак, если уравнение (или неравенство), кроме неизвестных, содержит числа, обозначенные буквами, то оно называется параметрическим, а эти буквы – параметрами.
Если параметру, содержащемуся в уравнении (неравенстве), придать некоторое значение, то возможен один из двух следующих случаев:
получится уравнение (неравенство), содержащее лишь данные числа и неизвестные (т.е. без параметров);
получится условие, лишенное смысла.
В
первом случае значение параметра
считается допустимым, во втором –
недопустимым.
Решить уравнение (неравенство), содержащее параметр, - это значит, для каждого допустимого значения параметра найти множество всех значений данного уравнения (неравенства).
К
сожалению, не редко при решении примеров
с параметрами многие ограничиваются
тем, что составляют формулы, выражающие
значения неизвестных через параметры.
Например, при решении уравнения
переходят
к у равнению
;
при m=
записывают
единственное решение
.
Но ведь при m= -1 – бесчисленное множество
решений, а при m=1, решений нет.
Пример
1. Решить уравнение
.
Сразу видно, что при решении этого уравнения стоит рассмотреть следующие случаи:
a=1,
тогда уравнение принимает вид
и
не имеет решений;
при
а=-1 получаем
и,
очевидно, х любое;
при
.
Ответ: при a=1 решений нет, при а=-1 х любое, при .
Пример
2. Решить уравнение
Очевидно,
что
,
а
,
то есть х=b/2, но
,
то есть 2
b/2,
b
4.
Ответ: при b 4 х=b/2; при b=4 нет решений.
Пример
3. При каких а уравнение
имеет
единственное решение?
Сразу
хочу обратить внимание на распространенную
ошибку – считать данное уравнение
квадратным. На самом деле это уравнение
степени не выше второй! При а – 2=0, а = 2,
уравнение вырождается в линейное имеет
единственный корень х=1/4. Если же а
2,
то мы действительно имеем дело с
квадратным уравнением, которое даёт
единственное решение при D=0
,
,
а=1, а=6.
Ответ: при а=2, а=1, а=6.
1.1 Решение уравнений первой степени с одним неизвестным
Решить такое уравнение – это значит:
1) определить множество допустимых значений неизвестного и параметров;
2) для каждой допустимой системы значений параметров найти соответствующие множества решений уравнений.
Простейшее уравнение первой степени с одним неизвестным имеет вид ах-b=0.
П
ри
уравнение
имеет единственное решение
,
которое будет: положительным, если
или
;
нулевым, если
;
отрицательным, если
или
.
Если а=0, то при b=0 бесчисленное множество решений, а при b 0 решений нет.
Пример
1. Для каждого значения а решить
уравнение
;
найти при каких а корни больше нуля.
Это
уравнение не является линейным уравнением
(т.е. представляет собой дробь), но при
х
-1
и х
0
сводится к таковому:
или
а-1-х=0.
Мы уже выявили допустимые значения икс (х -1 и х 0), выявим теперь допустимые значения параметра а:
а-1-х=0
а=х+1
Из этого видно, что при х 0 а 1, а при х -1 а 0.
Таким образом, при а 1 и а 0 х=а-1 и это корень больше нуля при а>1.
Ответ:
при а<0 х=а-1; при
решений
нет, а при a>1 корни положительны.
Пример
2. Решить уравнение
(1).
Допустимыми
значениями k и x будут значения, при
которых
.
Приведём уравнение к простейшему виду:
9х-3k=kx-12
(9 – k)x =3k-12 (2)
Найдём k, при которых изначальное уравнение не имеет смысла:
Подставив
в (2)
,
получим:
.
Если
подставим
,
то получим так же
.
Таким образом, при уравнение (1) не имеет числового смысла, т.е. - это недопустимые значения параметра k для (1). При мы можем решать только уравнение (2).
Если
,
то уравнение (2) и вместе с ним уравнение
(1) имеют единственное решение
,
которое будет:
а)
положительным, если
,
при 4<k<9, с учётом
:
;
б)
нулевым, если
;
в)
отрицательным, если
и
k>9 с учётом
,
получаем
.
Если
,
то уравнение (2) решений не имеет.
Ответ:
а)
при
и
,
причём х>0 для
;
x=0 при k=4; x<0 при
;
б)
при
уравнение
не имеет решений.