![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
Лекция 23. Свойства потенциалов объема, простого и двойного
слоя.
Чтобы рассмотреть задачи Дирихле и Неймана кроме шара и полупространства еще и для других областей, мы должны рассмотреть в отдельности интегралы
,
,
которые
встречались нам уже неоднократно. Как
мы упоминали раньше, интеграл
называется потенциалом объема, а функция
- его плотностью; интеграл
называется потенциалом двойного слоя,
а
- его плотностью; интеграл
называется потенциалом простого слоя,
а
- его плотностью.
§1. Потенциал объема
Рассмотрим потенциал объема
(1)
где
- конечная область. Предположим, что
плотность
ограничена и интегрируема в
.
Интеграл (1) является собственным, если
точка
лежит вне
.
В этом случае функция
непрерывна и имеет частные производные
всех порядков. Эти производные могут
быть получены дифференцированием под
знаком интеграла, и
удовлетворяет уравнению Лапласа
вне области
.
Покажем, что при стремлении точки
в бесконечность по любому направлению
функция
стремится к нулю, так что
где
.
Пусть
начало координат принадлежит области
.
Тогда
или
.
Обозначим
через
- диаметр области
.
Тогда
.
Будем
считать, что точка
настолько удалена от начала координат,
что
,
т.е.
,
тогда
или
.
Теперь
,
где
.
Таким образом, потенциал объема есть гармоническая функция вне области .
Пусть теперь точка лежит внутри области . Тогда интеграл (1) будет несобственным. В силу ограниченности плотности интеграл (1) сходится так, как
.
Кроме этого можно показать, что потенциал и его производные первого порядка непрерывны во всем пространстве и эти производные могут быть получены дифференцированием под знаком интеграла.
Для существования производных второго порядков требуется наложить на плотность потенциала дополнительные ограничения. А именно справедливо утверждение:
Теорема 1. Если плотность непрерывна в замкнутой области и имеет непрерывные производные первого порядка внутри , то потенциал объема (1) имеет непрерывные производные второго порядка внутри и удовлетворяет внутри уравнению Пуассона
.
Итак, если
,
то уравнение Пуассона
имеет частные решение
.
§2. Поверхности Ляпунова
Для возможного строгого установления свойств потенциалов простого и двойного слоя необходимо подчинить ряду требований те поверхности, на которых расположены эти слои.
Будем
называть замкнутую поверхность
поверхностью Ляпунова, если выполнены
следующие три условия:
Поверхность имеет везде касательную плоскость.
Вокруг каждой точки
поверхности можно описать такой шар радиуса
, не зависящего от , внутрь которого попадет лишь участок
поверхности , встречающий прямые, параллельные нормали
в точке , не более чем один раз.
Если
- острый угол, образованный нормалями к в двух ее точках
и
, и
- расстояние между этими двумя точками, то имеет место неравенство
,
где
и
- постоянные числа, причем
.
Условие
1) дает возможность в каждой точке
поверхности Ляпунова построить местную
прямоугольную систему координат
,
Беря точку
за начало координат, касательную
плоскость в точке
за плоскость
и нормаль поверхности в точке
за ось
.
Условие 2) показывает, что в этой местной
системе координат уравнение части
поверхности
,
заключенной внутри сферы
с центром в точке
и радиусом
,
может быть представлено в виде, разрешенном
относительно
:
.
Из
условия 3) следует, что частные производные
и
являются непрерывными функциями
и
.